Poincaré ’ S Proof of the so - Called Birkhoff - Witt Theorem

In honor of the 100th birthday of the article, " Sur les groupes continus " Abstract: A methodical analysis of the research related to the article , " Sur les groupes continus " , of Henri Poincaré reveals many historical misconceptions and inaccuracies regarding his contribution to Lie theory. A thorough reading of this article confirms the precedence of his discovery of many important concepts, especially that of the universal enveloping algebra of a Lie algebra over the real or complex field, and the canonical map (symmetrization) of the symmetric algebra onto the universal enveloping algebra. The essential part of this article consists of a detailed discussion of his rigorous, complete, and enlightening proof of the so-called Birkhoff-Witt theorem. TITRE: La démonstration de Poincaré du théorème de Birkhoff-Witt. R ´ ESUMÉ: Une analyse méthodique des travaux faits en connexion avec l'article, " Sur les groupes continus " , de Henri Poincaré révèle des erreurs historiques et des jugements injustes en ce qui concerne sa contributionà la théorie de Lie. Uné etude approfondie de cet article confirme la précédence de sa découverte de plusieurs concepts importants; notamment de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie sur le corps réel ou le corps complexe, et de l'application canonique (la symétrisation) de l'algèbre symétrique sur l'algèbre enveloppante universelle. L'essentiel de cet article consiste en un examen approfondi de sa démonstration rigoureuse etcompì ete du théorème de Birkhoff-Witt. Liste de quelques mots-clés: L'algèbre enveloppante universelle, l'application canonique (symétrisation), le théorème de Birkhoff-Witt.